水理学の公式早見表｜マニング式・限界水深・ベルヌーイの定理・損失水頭・堰の流量

連続の式

流量

\(Q = Av = A_1 v_1 = A_2 v_2\)A は流れの断面積、v は断面の平均流速

ベルヌーイの定理

断面 1 と断面 2 のエネルギー

\(z_1 + \dfrac{p_1}{\rho g} + \dfrac{v_1^2}{2g} = z_2 + \dfrac{p_2}{\rho g} + \dfrac{v_2^2}{2g} + h_L\)\(z\) は位置水頭、\(p/\rho g\) は圧力水頭、\(v^2/2g\) は速度水頭、\(h_L\) は 1 から 2 までの損失水頭

静水圧

水面から深さ h の圧力

\(p = \rho g h\)

浮力

\(F = \rho g V\)V は水中にある部分の体積

平面に働く全水圧

全水圧

\(P = \rho g\,h_G A\)\(h_G\) は面の図心の深さ、\(A\) は面積

作用点の深さ

\(h_C = h_G + \dfrac{I_G}{h_G A}\)\(I_G\) は図心を通る水平な軸まわりの断面二次モーメント

鉛直な長方形の壁（幅 B、水深 h）

\(P = \dfrac{\rho g B h^2}{2}\)作用点は水面から 2h/3

マニング式

平均流速

\(v = \dfrac{1}{n} R^{2/3} I^{1/2}\)n は粗度係数、R は径深（m）、I は水面（エネルギー線）の勾配

流量

\(Q = Av\)

シェジー式との関係

\(v = C\sqrt{RI},\quad C = \dfrac{R^{1/6}}{n}\)

長方形の水路（幅 B、水深 h）

流水の断面積

\(A = Bh\)

潤辺

\(S = B + 2h\)

径深

\(R = \dfrac{A}{S} = \dfrac{Bh}{B + 2h}\)

台形の水路（底幅 B、のり勾配 1:m）

流水の断面積

\(A = (B + mh)\,h\)

潤辺

\(S = B + 2h\sqrt{1 + m^2}\)

水面幅

\(B_s = B + 2mh\)

円形の管が満流のときは、径深 R＝D/4（D は内径）です。

比エネルギーとフルード数

比エネルギー

\(E = h + \dfrac{v^2}{2g} = h + \dfrac{Q^2}{2gA^2}\)

フルード数

\(Fr = \dfrac{v}{\sqrt{g h_m}}\)\(h_m = A/B_s\) は平均水深、\(B_s\) は水面幅

流れの区分

\(Fr < 1,\quad Fr = 1,\quad Fr > 1\)順に常流、限界流、射流

限界水深

一般の断面

\(\dfrac{Q^2 B_s}{g A^3} = 1\)

長方形の水路

\(h_c = \sqrt[3]{\dfrac{q^2}{g}}\)\(q = Q/B\) は単位幅あたりの流量

限界流速

\(v_c = \sqrt{g h_c}\)

最小の比エネルギー（長方形）

\(E_{\min} = \dfrac{3}{2} h_c\)

ダルシー・ワイスバッハの式

摩擦による損失水頭

\(h_f = f\,\dfrac{L}{D}\,\dfrac{v^2}{2g}\)f は摩擦損失係数

レイノルズ数

\(Re = \dfrac{vD}{\nu}\)ν は動粘性係数（水 20℃で約 1.0×10⁻⁶ m²/s）

層流（Re ≦ 2,000 程度）

\(f = \dfrac{64}{Re}\)

マニング式（満流の円管）

摩擦損失係数

\(f = \dfrac{124.5\,n^2}{D^{1/3}}\)

摩擦による損失水頭

\(h_f = \dfrac{10.3\,n^2 Q^2 L}{D^{16/3}}\)

単位は m・s（g＝9.8 m/s²）です。

ヘーゼン・ウィリアムス式

平均流速

\(v = 0.849\,C R^{0.63} I^{0.54}\)\(C\) は流速係数、\(I\) は動水勾配（\(h_f/L\)）

満流の円管の流量

\(Q = 0.2785\,C D^{2.63} I^{0.54}\)

満流の円管の損失水頭

\(h_f = 10.67\,C^{-1.85} D^{-4.87} Q^{1.85} L\)

単位は m・s です。

局所の損失水頭

一般の形

\(h = f_x\,\dfrac{v^2}{2g}\)\(f_x\) は入口・曲がり・弁などの損失係数

急な拡大

\(h = \dfrac{(v_1 - v_2)^2}{2g}\)

出口

\(h = \dfrac{v^2}{2g}\)

水槽の間の水位差 H

\(H = \left(f_e + f\dfrac{L}{D} + \sum f_x + 1\right)\dfrac{v^2}{2g}\)\(f_e\) は入口の損失係数

入口・曲がり・弁などの損失係数は形によって異なるため、適用する基準や便覧の値を用いてください。

四角堰（越流幅 B、越流水深 h）

流量

\(Q = \dfrac{2}{3}\,c\,B\sqrt{2g}\,h^{3/2}\)

三角堰（頂角 θ）

流量

\(Q = \dfrac{8}{15}\,c\tan\dfrac{\theta}{2}\sqrt{2g}\,h^{5/2}\)

直角三角堰（θ＝90°）

\(Q = \dfrac{8}{15}\,c\sqrt{2g}\,h^{5/2}\)

オリフィス

小さなオリフィスの流量

\(Q = c\,a\sqrt{2gh}\)a はオリフィスの面積、h は水面から中心までの深さ

もぐりオリフィス

\(Q = c\,a\sqrt{2gH}\)H は上流と下流の水位の差

トリチェリの定理

\(v = \sqrt{2gh}\)

合理式（雨水の計画流出量）

集水面積を ha で表すとき

\(Q = \dfrac{1}{360}\,f\,r\,A\)Q は m³/s、f は流出係数、r は降雨強度（mm/h）、A は集水面積（ha）

集水面積を km² で表すとき

\(Q = \dfrac{1}{3.6}\,f\,r\,A\)

盛土等防災マニュアルの解説〔Ⅱ〕 式ⅩⅡ・2-1、式ⅩⅡ・3-1。