構造力学の公式早見表｜梁のたわみ・曲げモーメント、断面二次モーメント、座屈荷重

中央に集中荷重

反力

\(R_A = R_B = \dfrac{P}{2}\)

最大曲げモーメント（中央）

\(M_{\max} = \dfrac{Pl}{4}\)

最大たわみ（中央）

\(\delta_{\max} = \dfrac{Pl^3}{48EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力

\(R_A = \dfrac{Pb}{l},\quad R_B = \dfrac{Pa}{l}\)

最大曲げモーメント（荷重点）

\(M_{\max} = \dfrac{Pab}{l}\)

荷重点のたわみ

\(\delta_P = \dfrac{Pa^2b^2}{3EIl}\)

最大たわみ（a ≧ b のとき）

\(\delta_{\max} = \dfrac{Pb\,(l^2-b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,EIl}\)位置は A から \(x = \sqrt{(l^2-b^2)/3}\)

等分布荷重

反力

\(R_A = R_B = \dfrac{wl}{2}\)

最大曲げモーメント（中央）

\(M_{\max} = \dfrac{wl^2}{8}\)

最大たわみ（中央）

\(\delta_{\max} = \dfrac{5wl^4}{384EI}\)

三角形分布荷重（A で 0、B で w）

反力

\(R_A = \dfrac{wl}{6},\quad R_B = \dfrac{wl}{3}\)

最大曲げモーメント

\(M_{\max} = \dfrac{wl^2}{9\sqrt{3}}\)位置は A から \(x = l/\sqrt{3}\)

最大たわみ

\(\delta_{\max} \fallingdotseq 0.00652\,\dfrac{wl^4}{EI}\)位置は A から \(x \fallingdotseq 0.519l\)

先端に集中荷重

反力

\(R_A = P\)

固定端の曲げモーメント

\(M_A = -Pl\)

先端のたわみ

\(\delta_B = \dfrac{Pl^3}{3EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力

\(R_A = P\)

固定端の曲げモーメント

\(M_A = -Pa\)

先端のたわみ

\(\delta_B = \dfrac{Pa^2(3l-a)}{6EI}\)

等分布荷重

反力

\(R_A = wl\)

固定端の曲げモーメント

\(M_A = -\dfrac{wl^2}{2}\)

先端のたわみ

\(\delta_B = \dfrac{wl^4}{8EI}\)

中央に集中荷重

反力

\(R_A = R_B = \dfrac{P}{2}\)

端部の曲げモーメント

\(M_A = M_B = -\dfrac{Pl}{8}\)

中央の曲げモーメント

\(M_C = \dfrac{Pl}{8}\)

最大たわみ（中央）

\(\delta_{\max} = \dfrac{Pl^3}{192EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力

\(R_A = \dfrac{Pb^2(3a+b)}{l^3},\quad R_B = \dfrac{Pa^2(a+3b)}{l^3}\)

端部の曲げモーメント

\(M_A = -\dfrac{Pab^2}{l^2},\quad M_B = -\dfrac{Pa^2b}{l^2}\)

荷重点の曲げモーメント

\(M_P = \dfrac{2Pa^2b^2}{l^3}\)

荷重点のたわみ

\(\delta_P = \dfrac{Pa^3b^3}{3EIl^3}\)

等分布荷重

反力

\(R_A = R_B = \dfrac{wl}{2}\)

端部の曲げモーメント

\(M_A = M_B = -\dfrac{wl^2}{12}\)

中央の曲げモーメント

\(M_C = \dfrac{wl^2}{24}\)

最大たわみ（中央）

\(\delta_{\max} = \dfrac{wl^4}{384EI}\)

張り出しの先端に集中荷重

反力

\(R_A = -\dfrac{Pa}{l},\quad R_B = \dfrac{P(l+a)}{l}\)R_A は下向き

支点 B の曲げモーメント

\(M_B = -Pa\)

先端のたわみ

\(\delta_C = \dfrac{Pa^2(l+a)}{3EI}\)

全長に等分布荷重

反力

\(R_A = \dfrac{w(l^2-a^2)}{2l},\quad R_B = \dfrac{w(l+a)^2}{2l}\)

支点 B の曲げモーメント

\(M_B = -\dfrac{wa^2}{2}\)

支点の間の最大曲げモーメント（a ＜ l のとき）

\(M_{\max} = \dfrac{w(l^2-a^2)^2}{8l^2}\)位置は A から \(x = R_A/w\)

先端のたわみ

\(\delta_C = \dfrac{wa\,(4a^2l - l^3 + 3a^3)}{24EI}\)負の値は上向き

長方形（幅 b、高さ h）

断面積

\(A = bh\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{bh^3}{12}\)

断面係数

\(Z = \dfrac{bh^2}{6}\)

断面二次半径

\(i = \dfrac{h}{\sqrt{12}} \fallingdotseq 0.289h\)

中空の長方形（外側 B×H、内側 b×h）

断面積

\(A = BH - bh\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{BH^3 - bh^3}{12}\)

断面係数

\(Z = \dfrac{BH^3 - bh^3}{6H}\)

外側と内側の図心が同じ（左右・上下とも対称）ときの式です。

円（直径 d）

断面積

\(A = \dfrac{\pi d^2}{4}\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{\pi d^4}{64}\)

断面係数

\(Z = \dfrac{\pi d^3}{32}\)

断面二次半径

\(i = \dfrac{d}{4}\)

中空の円（外径 D、内径 d）

断面積

\(A = \dfrac{\pi (D^2 - d^2)}{4}\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{\pi (D^4 - d^4)}{64}\)

断面係数

\(Z = \dfrac{\pi (D^4 - d^4)}{32D}\)

断面二次半径

\(i = \dfrac{\sqrt{D^2 + d^2}}{4}\)

三角形（底辺 b、高さ h）

断面積

\(A = \dfrac{bh}{2}\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{bh^3}{36}\)図心は底辺から h/3

断面係数（頂点側）

\(Z = \dfrac{bh^2}{24}\)

断面係数（底辺側）

\(Z = \dfrac{bh^2}{12}\)

断面二次半径

\(i = \dfrac{h}{\sqrt{18}}\)

H形（強軸）

断面積

\(A = 2Bt_2 + (H - 2t_2)\,t_1\)

断面二次モーメント

\(I = \dfrac{BH^3 - (B - t_1)(H - 2t_2)^3}{12}\)

断面係数

\(Z = \dfrac{2I}{H}\)

B はフランジ幅、H は高さ、t₁ はウェブの厚さ、t₂ はフランジの厚さです。隅肉（フィレット）は無視しています。

平行軸の定理・断面二次極モーメント

平行軸の定理

\(I = I_G + Ae^2\)\(e\) は図心を通る軸からの距離

断面二次極モーメント

\(I_p = I_x + I_y\)

円の断面二次極モーメント

\(I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}\)

軸方向の応力度

軸方向力による応力度

\(\sigma = \dfrac{N}{A}\)N は軸方向力、A は断面積

軸方向力による伸び

\(\Delta l = \dfrac{Nl}{EA}\)

曲げ応力度

図心軸から y の位置

\(\sigma = \dfrac{M}{I}\,y\)

縁の応力度

\(\sigma = \dfrac{M}{Z}\)

軸方向力と曲げを受けるとき

\(\sigma = \dfrac{N}{A} \pm \dfrac{M}{Z}\)

せん断応力度

一般の断面

\(\tau = \dfrac{QS}{Ib}\)S はその位置より外側の断面一次モーメント、b はその位置の幅

長方形の最大（図心軸）

\(\tau_{\max} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{Q}{A}\)

円の最大（図心軸）

\(\tau_{\max} = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{Q}{A}\)

ひずみとフックの法則

ひずみ

\(\varepsilon = \dfrac{\Delta l}{l}\)

フックの法則

\(\sigma = E\varepsilon\)

ポアソン比

\(\nu = -\dfrac{\varepsilon'}{\varepsilon}\)ε' は横方向のひずみ

せん断弾性係数

\(G = \dfrac{E}{2(1+\nu)},\quad \tau = G\gamma\)

オイラーの座屈荷重

座屈荷重

\(P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{l_k^{\,2}}\)\(I\) は弱軸まわりの断面二次モーメント、\(l_k\) は有効座屈長

細長比

\(\lambda = \dfrac{l_k}{i}\)

座屈応力度

\(\sigma_{cr} = \dfrac{\pi^2 E}{\lambda^2}\)

両端ピン

有効座屈長

\(l_k = l\)

一端固定・他端自由

有効座屈長

\(l_k = 2l\)

一端固定・他端ピン

有効座屈長

\(l_k \fallingdotseq 0.7l\)

両端固定

有効座屈長

\(l_k = 0.5l\)