構造力学の公式早見表

1. 梁の反力・曲げモーメント・たわみ

スパン（支点の間の長さ）を l、曲げ剛性を EI（等断面）とした、代表的な荷重の公式です。荷重は下向き、反力は上向き、曲げモーメントは下側が引張になる向き、たわみは下向きを正とします。

単純梁

中央に集中荷重

反力: \(R_A = R_B = \dfrac{P}{2}\)
最大曲げモーメント（中央）: \(M_{\max} = \dfrac{Pl}{4}\)
最大たわみ（中央）: \(\delta_{\max} = \dfrac{Pl^3}{48EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力: \(R_A = \dfrac{Pb}{l},\quad R_B = \dfrac{Pa}{l}\)
最大曲げモーメント（荷重点）: \(M_{\max} = \dfrac{Pab}{l}\)
荷重点のたわみ: \(\delta_P = \dfrac{Pa^2b^2}{3EIl}\)
最大たわみ（a ≧ b のとき）: \(\delta_{\max} = \dfrac{Pb\,(l^2-b^2)^{3/2}}{9\sqrt{3}\,EIl}\)位置は A から \(x = \sqrt{(l^2-b^2)/3}\)

等分布荷重

反力: \(R_A = R_B = \dfrac{wl}{2}\)
最大曲げモーメント（中央）: \(M_{\max} = \dfrac{wl^2}{8}\)
最大たわみ（中央）: \(\delta_{\max} = \dfrac{5wl^4}{384EI}\)

三角形分布荷重（A で 0、B で w）

反力: \(R_A = \dfrac{wl}{6},\quad R_B = \dfrac{wl}{3}\)
最大曲げモーメント: \(M_{\max} = \dfrac{wl^2}{9\sqrt{3}}\)位置は A から \(x = l/\sqrt{3}\)
最大たわみ: \(\delta_{\max} \fallingdotseq 0.00652\,\dfrac{wl^4}{EI}\)位置は A から \(x \fallingdotseq 0.519l\)

片持梁（A が固定端、B が自由端）

先端に集中荷重

反力: \(R_A = P\)
固定端の曲げモーメント: \(M_A = -Pl\)
先端のたわみ: \(\delta_B = \dfrac{Pl^3}{3EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力: \(R_A = P\)
固定端の曲げモーメント: \(M_A = -Pa\)
先端のたわみ: \(\delta_B = \dfrac{Pa^2(3l-a)}{6EI}\)

等分布荷重

反力: \(R_A = wl\)
固定端の曲げモーメント: \(M_A = -\dfrac{wl^2}{2}\)
先端のたわみ: \(\delta_B = \dfrac{wl^4}{8EI}\)

両端固定梁

中央に集中荷重

反力: \(R_A = R_B = \dfrac{P}{2}\)
端部の曲げモーメント: \(M_A = M_B = -\dfrac{Pl}{8}\)
中央の曲げモーメント: \(M_C = \dfrac{Pl}{8}\)
最大たわみ（中央）: \(\delta_{\max} = \dfrac{Pl^3}{192EI}\)

任意の位置に集中荷重

反力: \(R_A = \dfrac{Pb^2(3a+b)}{l^3},\quad R_B = \dfrac{Pa^2(a+3b)}{l^3}\)
端部の曲げモーメント: \(M_A = -\dfrac{Pab^2}{l^2},\quad M_B = -\dfrac{Pa^2b}{l^2}\)
荷重点の曲げモーメント: \(M_P = \dfrac{2Pa^2b^2}{l^3}\)
荷重点のたわみ: \(\delta_P = \dfrac{Pa^3b^3}{3EIl^3}\)

等分布荷重

反力: \(R_A = R_B = \dfrac{wl}{2}\)
端部の曲げモーメント: \(M_A = M_B = -\dfrac{wl^2}{12}\)
中央の曲げモーメント: \(M_C = \dfrac{wl^2}{24}\)
最大たわみ（中央）: \(\delta_{\max} = \dfrac{wl^4}{384EI}\)

はね出し梁（支点の間 l、張り出し a）

張り出しの先端に集中荷重

反力: \(R_A = -\dfrac{Pa}{l},\quad R_B = \dfrac{P(l+a)}{l}\)R_A は下向き
支点 B の曲げモーメント: \(M_B = -Pa\)
先端のたわみ: \(\delta_C = \dfrac{Pa^2(l+a)}{3EI}\)

全長に等分布荷重

反力: \(R_A = \dfrac{w(l^2-a^2)}{2l},\quad R_B = \dfrac{w(l+a)^2}{2l}\)
支点 B の曲げモーメント: \(M_B = -\dfrac{wa^2}{2}\)
支点の間の最大曲げモーメント（a ＜ l のとき）: \(M_{\max} = \dfrac{w(l^2-a^2)^2}{8l^2}\)位置は A から \(x = R_A/w\)
先端のたわみ: \(\delta_C = \dfrac{wa\,(4a^2l - l^3 + 3a^3)}{24EI}\)負の値は上向き

ほかの荷重の組み合わせや支点の位置は、梁の断面力計算で、せん断力図・曲げモーメント図・たわみを求めることができます。

2. 断面の性質

図心を通る軸（図の一点鎖線）についての値です。断面係数は Z＝I/y（y は図心から縁までの距離）、断面二次半径は i＝√(I/A) です。

長方形（幅 b、高さ h）

断面積: \(A = bh\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{bh^3}{12}\)
断面係数: \(Z = \dfrac{bh^2}{6}\)
断面二次半径: \(i = \dfrac{h}{\sqrt{12}} \fallingdotseq 0.289h\)

中空の長方形（外側 B×H、内側 b×h）

断面積: \(A = BH - bh\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{BH^3 - bh^3}{12}\)
断面係数: \(Z = \dfrac{BH^3 - bh^3}{6H}\)

外側と内側の図心が同じ（左右・上下とも対称）ときの式です。

円（直径 d）

断面積: \(A = \dfrac{\pi d^2}{4}\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{\pi d^4}{64}\)
断面係数: \(Z = \dfrac{\pi d^3}{32}\)
断面二次半径: \(i = \dfrac{d}{4}\)

中空の円（外径 D、内径 d）

断面積: \(A = \dfrac{\pi (D^2 - d^2)}{4}\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{\pi (D^4 - d^4)}{64}\)
断面係数: \(Z = \dfrac{\pi (D^4 - d^4)}{32D}\)
断面二次半径: \(i = \dfrac{\sqrt{D^2 + d^2}}{4}\)

三角形（底辺 b、高さ h）

断面積: \(A = \dfrac{bh}{2}\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{bh^3}{36}\)図心は底辺から h/3
断面係数（頂点側）: \(Z = \dfrac{bh^2}{24}\)
断面係数（底辺側）: \(Z = \dfrac{bh^2}{12}\)
断面二次半径: \(i = \dfrac{h}{\sqrt{18}}\)

H形（強軸）

断面積: \(A = 2Bt_2 + (H - 2t_2)\,t_1\)
断面二次モーメント: \(I = \dfrac{BH^3 - (B - t_1)(H - 2t_2)^3}{12}\)
断面係数: \(Z = \dfrac{2I}{H}\)

B はフランジ幅、H は高さ、t₁ はウェブの厚さ、t₂ はフランジの厚さです。隅肉（フィレット）は無視しています。

平行軸の定理・断面二次極モーメント

平行軸の定理: \(I = I_G + Ae^2\)\(e\) は図心を通る軸からの距離
断面二次極モーメント: \(I_p = I_x + I_y\)
円の断面二次極モーメント: \(I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}\)

組み合わせた断面や形鋼の断面性能は、断面性能の計算で寸法から求めることができます。

3. 応力度とひずみ

部材の断面に生じる応力度と、弾性の範囲のひずみの関係です。応力度は引張を正とします。

軸方向の応力度

軸方向力による応力度: \(\sigma = \dfrac{N}{A}\)N は軸方向力、A は断面積
軸方向力による伸び: \(\Delta l = \dfrac{Nl}{EA}\)

曲げ応力度

図心軸から y の位置: \(\sigma = \dfrac{M}{I}\,y\)
縁の応力度: \(\sigma = \dfrac{M}{Z}\)
軸方向力と曲げを受けるとき: \(\sigma = \dfrac{N}{A} \pm \dfrac{M}{Z}\)

せん断応力度

一般の断面: \(\tau = \dfrac{QS}{Ib}\)S はその位置より外側の断面一次モーメント、b はその位置の幅
長方形の最大（図心軸）: \(\tau_{\max} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{Q}{A}\)
円の最大（図心軸）: \(\tau_{\max} = \dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{Q}{A}\)

ひずみとフックの法則

ひずみ: \(\varepsilon = \dfrac{\Delta l}{l}\)
フックの法則: \(\sigma = E\varepsilon\)
ポアソン比: \(\nu = -\dfrac{\varepsilon'}{\varepsilon}\)ε' は横方向のひずみ
せん断弾性係数: \(G = \dfrac{E}{2(1+\nu)},\quad \tau = G\gamma\)

ヤング係数の目安：鉄筋は 2.0×10⁵ N/mm²です。コンクリートは設計基準強度 21・24・27・30・40・50・60 N/mm²で、それぞれ 2.35・2.50・2.65・2.80・3.10・3.30・3.50×10⁴ N/mm²です（道路橋示方書Ⅲ 平成29年表-4.2.1・表-4.2.3）。

4. 柱の座屈

中心に圧縮力を受けるまっすぐな柱（弾性・等断面）の座屈の理論式です。設計では、適用する基準の有効座屈長と、座屈を考えた許容応力度を用いてください。

オイラーの座屈荷重

座屈荷重: \(P_{cr} = \dfrac{\pi^2 EI}{l_k^{\,2}}\)\(I\) は弱軸まわりの断面二次モーメント、\(l_k\) は有効座屈長
細長比: \(\lambda = \dfrac{l_k}{i}\)
座屈応力度: \(\sigma_{cr} = \dfrac{\pi^2 E}{\lambda^2}\)

両端ピン

有効座屈長: \(l_k = l\)

一端固定・他端自由

有効座屈長: \(l_k = 2l\)

一端固定・他端ピン

有効座屈長: \(l_k \fallingdotseq 0.7l\)

両端固定

有効座屈長: \(l_k = 0.5l\)

有効座屈長は、柱の上端が水平に動かないとき（一端固定・他端自由を除く）の理論値です。上端が水平に動く骨組の柱は、有効座屈長が長くなります。