クロソイド計算｜単曲線・クロソイドの曲線要素と中心杭・幅杭の座標をブラウザで計算（道路構造令の照査）

このツールで計算できること

道路の平面線形で、直線と直線の間に入れる曲線（単曲線と、円曲線の前後に緩和曲線として入れるクロソイド）の計算です。交角と円曲線の半径、クロソイドのパラメータから、接線長・曲線長などの曲線の要素と、主要点と中心杭の位置を求めます。路線の座標からは中心杭と幅杭の座標を求め、平面図の作成や杭の設置の計算に使います。

計算方法・使用式

• 道路の平面線形は、直線・円曲線・緩和曲線の3つの要素を組み合わせて作ります。路線の方向が変わる点を IP（交点）と呼び、IP の前後の直線（接線）の方向の差を交角 I と呼びます。IP には、前後の接線に接する円曲線を入れて、路線を滑らかにつなぎます。
• 円曲線だけで曲がる曲線を、単曲線と呼びます。円曲線の半径を R とすると、IP から曲線の始点（BC）・終点（EC）までの接線長は TL＝R tan(I／2)、曲線長は CL＝R I（I はラジアン）です。外線長は SL＝R (sec(I／2)－1)、中央縦距は M＝R (1－cos(I／2))、長弦は C＝2R sin(I／2) です。
• 直線から円曲線へじかに入ると、曲率が急に変わり、運転者はハンドルを一度に切ることになります。そこで、直線と円曲線の間に、曲率が少しずつ変わる緩和曲線を入れます。道路では、曲率が曲線長に比例して大きくなるクロソイドを使うのが一般的です。
• クロソイドは、パラメータ A を使って R L＝A² と表されます。L はクロソイドの始点（KA）からの曲線長、R はその点の曲率半径です。円曲線の半径を R とすると、円曲線とつなぐ点（KE）までのクロソイドの長さは L＝A²／R、KE での接線角は τ＝L／(2R)（ラジアン）です。
• クロソイドの上の点の位置は、KA の接線に沿った X と、それに直角な Y で表します。X と Y は、接線角 τ を使った級数 X＝L (1－τ²／10＋τ⁴／216－…)、Y＝L (τ／3－τ³／42＋…) で求めます。本ツールは、項が十分に小さくなるまで級数を足して計算します。
• クロソイドを入れると、円曲線は接線から内側へずれます。このずれを移程量 ΔR と呼び、ΔR＝Y－R (1－cos τ) です。KA から円の中心までの接線に沿った距離は XM＝X－R sin τ です。入口側と出口側のパラメータが同じとき、接線長は TL＝XM＋(R＋ΔR) tan(I／2) で求めます。
• 入口側と出口側のパラメータが異なるときは、接線長も入口側と出口側で異なります。入口側の接線長は TL1＝XM1＋(ΔR2－ΔR1)／sin I＋(R＋ΔR1) tan(I／2) で、出口側の接線長 TL2 は、この式の入口側と出口側を入れ替えて求めます。
• 円曲線の中心角は、交角から入口側と出口側の接線角を引いた θ＝I－τ1－τ2 で、円曲線の長さは Lc＝R θ です。曲線長は、入口側のクロソイド・円曲線・出口側のクロソイドの長さの和 CL＝L1＋Lc＋L2 です。θ が負になる組み合わせでは、円曲線が残らないため、曲線が成り立ちません。
• 主要点の追加距離は、IP の追加距離から接線長 TL1 を引いて曲線の始点（KA1）を求め、そこにクロソイドと円曲線の長さを順に足して求めます。KA1・KE1・SP（円曲線の中点）・KE2・KA2 が主要点で、クロソイドを入れない側は、円曲線の始点を BC、終点を EC と呼びます。
• 1か所の曲線では、曲線の始点から入ってくる接線に対する偏角と、始点からの弦長を、中心杭ごとに求めます。偏角と弦長は、始点に器械を据えて杭を設置するときの値です。接線支距は、始点から接線に沿って測った長さ x と、それに直角に測った長さ y です。
• BP から EP までの路線では、BP・IP・EP の座標から区間ごとの方向角と距離を求め、前後の区間の方向角の差を IP の交角とします。曲線と曲線の間の直線の長さは、IP 間の距離から前の曲線の接線長と次の曲線の接線長を引いた値です。この値が負になると、曲線どうしが重なります。
• 中心杭の座標は、その追加距離が直線・クロソイド・円曲線のどこにあるかを見て、その区間の式で求めます。幅杭は、中心杭の点から中心線に直角に左右へ離れた点です。作業規程の準則 第655条でも、用地幅杭は、中心線に対して直角方向の座標値を計算して設置するとされています。
• 道路構造令では、車道の曲線部の中心線の曲線半径（第15条）と、緩和区間の長さ（第18条）の最小の値が、設計速度ごとに決められています。車道の屈曲部には緩和区間を設けることとされ、第4種の道路だけは、やむを得ない場合に設けないことができます。本ツールは、緩和区間の長さをクロソイドの長さ L として比べます。

入力と出力

入力: 計算の種類（1か所の曲線か、BP から EP までの路線か）、クロソイドの決め方（パラメータ A か長さ L か）、IP の追加距離・交角・曲がる向き・円曲線の半径・入口側と出口側のクロソイド（路線では BP の追加距離と BP・IP・EP の座標、IP ごとの半径とクロソイド）、測点の間隔、中心杭の間隔、任意の点の追加距離、幅杭の幅、道路構造令の照査の条件（道路の区分・設計速度・使う値）。

出力: 接線長・曲線長・外線長・中央縦距・長弦・移程量などの曲線の要素、主要点の追加距離と測点、中心杭ごとの偏角・弦長・接線支距（路線では座標と接線の方向角）、幅杭の座標、道路構造令との照査の結果、平面図。中心杭の表は CSV で、平面線形は DXF で保存できます。計算過程つきの帳票（計算書）も出力できます。

適用範囲・計算上の仮定

• 緩和曲線はクロソイドとして計算します。1つの IP には円曲線を1つだけ入れ、入口側と出口側のクロソイドのパラメータは別々に決めることができます。
• 座標は平面直角座標の上の値として扱い、縮尺係数の補正はしません。追加距離は、中心線に沿って測った長さです。
• 偏角・弦長・接線支距は、曲線の始点と、入ってくる接線から測った値です。外線長は、IP と円の中心を結ぶ線が円曲線に当たる形でだけ出します。
• 道路構造令との照査は、曲線半径（第15条）と緩和区間の長さ（第18条第3項の表の値）だけを見ます。片勾配と拡幅のすりつけに必要な長さと、視距（第19条）は見ません。
• 照査は、表示の桁に丸めた値（曲線半径とクロソイドの長さは小数3桁）で比べます。

使用基準・参考文献・設計者が確認すべき事項

• 道路構造令（昭和45年政令第320号）: 第3条（道路の区分）、第13条（設計速度）、第15条（曲線半径）、第18条（緩和区間）。
• 作業規程の準則（国土交通省）: 第643条（中心点の設置の間隔）、第655条（用地幅杭の設置）。

単曲線の式は円の幾何から、クロソイドの式はクロソイドの定義（曲率が曲線長に比例する）から求めています。