ニューマークの長方形分割法による平面沈下計算｜e-logP法、Cc法、Mv法、砂の即時沈下に対応

このツールで計算できること

ニューマークの長方形分割法により1次元圧密の結果を平面的に表示します。建物の隅と中央の沈下量の差や、隣に置く盛土が既にある建物に及ぼす沈下の検討に使うことができます。なお、沈下量の照査（許容値との比較）は行いません。

計算方法・使用式

• 地中増加応力 Δσ は、均質な弾性体の地盤の表面に荷重が載ったときの Boussinesq（ブシネスク）の解から求めます。点荷重 P の真下から水平に r、深さ z の点の Δσ は、3P z³／{2π(r²＋z²)^(5/2)} です。

  Δσ は、沈下量を求める層の中央の深さで、荷重ごとに求めて足し合わせます。

• 矩形荷重の Δσ は、ニューマークの長方形分割法で求めます。長方形の等分布荷重 q の隅の真下の Δσ は、q×f(m, n) です。f(m, n) は影響値で、m＝B/z、n＝L/z です。B と L は長方形の2辺の長さ、z は深さです。

  求める点を隅に持つ4つの長方形に分け、符号をつけて足し合わせると、矩形の中と外のどの点の値も求めることができます。

• 円形荷重の Δσ は、求める点を中心とする極座標で、半径の向きは閉じた式で積分し、角度の向きは数値で積分して求めます。円の中心の真下の値は、q{1－(1＋(R/z)²)^(－3/2)} です。R は円の半径です。

• 盛土荷重は、天端が矩形の盛土の荷重です。法面の角度は、4つの法面ごとに入れることができます。盛土荷重の Δσ は、盛土を水平の薄い層に分け、各層を矩形荷重として長方形分割法で求めた値を、高さの向きに数値で積分して求めます。

  この方法は、盛土の高さの分布をそのまま荷重とするので、法面の下の点の Δσ も求めることができます。

• メッシュは、計算範囲を格子に分けたものです。格子の線は、計算範囲の両端、荷重の縁（矩形の辺、円の中心と端、盛土の天端と法尻の辺、点荷重の位置）と、着目点の位置を必ず通ります。

  格子の線の間は、メッシュの基本ピッチ以下の等しい間隔で分けます。沈下量は、格子の交点ごとに求めます。

• 有効土被り圧 p0 は、沈下量を求める層の中央の深さで、上の層の単位体積重量と層厚の積を足して求めます。地下水位より下の土は、水中の単位体積重量 γsat－γw を使います。

• 圧密層の沈下量は、Mv法では S＝mv・Δσ・H、Cc法では S＝H・Cc／(1＋e0)・log10{(p0＋Δσ)／max(p0, Pc)}、Δe法では S＝H・(e0－e1)／(1＋e0) で求めます。H は層厚です。

  e0・e1 は、e-logP 曲線の p0 と p0＋Δσ での間隙比です。e-logP 曲線は、入力した点の間を対数の圧力に対して直線で補間します。Cc法は、Pc までの圧縮を 0 とみなします。Pc を空欄にした層は、正規圧密の層として計算します。

• 体積圧縮係数 mv は、直接入力するほか、mv-logP 曲線から、層の中央の平均の圧力 p0＋Δσ/2 の値を、対数の補間で求めることができます。
• Cc法・Mv法の式は、正規圧密の土に使う式です。過圧密の層（Pc＞p0）の沈下量は、過圧密の範囲の圧縮も表すことのできるΔe法で求めます。Cc法・Mv法を選んでいるときは、過圧密の層の値と、その値を含む合計を参考として示します。

• 即時沈下層（砂質土）の沈下量は、選んだ手法によらず、層ごとに選んだ B.K.Hough 区分の砂の圧力－間隙比曲線から、Δe法の式で求めます。

  区分ごとに使う線は、盛土等防災マニュアルの解説〔Ⅱ〕の図Ⅹ・6-28 の上から1・3・5・6・7本目の線です（順に、非常にゆるい砂・ゆるい砂・中位に締った砂・締まった砂・非常に締まった砂）。

• 沈下量は、下向きを正とします。

入力と出力

入力: 計算範囲の幅と奥行き、メッシュの基本ピッチ、荷重（点荷重・矩形荷重・円形荷重・盛土荷重の大きさと位置）、着目点の位置、計算手法（Mv法・Cc法・Δe法）、地下水位、地層構成（層ごとの地層区分・層厚・単位体積重量、圧密層の Pc・mv・Cc・e-logP 曲線・mv-logP 曲線、即時沈下層の Hough 区分）。

出力: 着目点の沈下量と、層ごとの地中増加応力・沈下量の内訳、沈下量の最大・最小の値と位置、沈下量を求めた層の有効土被り圧・圧密降伏応力・初期間隙比、平面図、地層の断面図、沈下量のコンター図、地表面の変形図。計算過程つきの帳票（計算書）も出力できます。

適用範囲・計算上の仮定

• 地層は、水平な層として扱います。地中増加応力は均質な弾性体の解で求め、地層の剛性の違いによる応力の再配分は見込みません。
• 荷重は地表面に載る荷重として計算します。基礎の根入れや基礎の剛性による沈下の平均化は見込みません。
• 沈下量は、各層の中央の深さの値で求めます。厚い層の沈下量を細かく求める場合は、層を分けて入力してください。
• 現状は最終沈下量の計算のみに対応しています。圧密の時間、粘性土の即時沈下、二次圧密は求めません。
• メッシュの基本ピッチが計算範囲に対して細かすぎる場合は、計算量が大きくなりすぎるため、計算がエラーになります。その場合は、メッシュの基本ピッチを大きくするか、計算範囲を狭めてください。

使用基準・参考文献・設計者が確認すべき事項

• 日本建築学会「小規模建築物基礎設計指針」2025年12月（2008年制定・2025年改定）: 3.4節 沈下の検討（式(3.4.3) 有効上載圧、式(3.4.4)・式(3.4.5)・表3.4.4 長方形の等分布荷重の隅角点の下の地中増加応力、図3.4.10 長方形分割法、計算例5）。 Amazonで見る
• 道路土工－軟弱地盤対策工指針（平成24年度版、日本道路協会）: 5-3 常時の作用に対する沈下の照査（式(解5-3)〜式(解5-6) 一次圧密沈下量）。
• 盛土等防災マニュアルの解説〔Ⅱ〕（令和5年11月、第二次改訂版、ぎょうせい）: Ⅹ・6・4 沈下量の計算方法（式Ⅹ・6-2 有効土被り圧、式Ⅹ・6-18・図Ⅹ・6-28 砂質土の即時沈下）。 Amazonで見る
• Boussinesq（1885）の弾性半無限体の解、Newmark の隅角点公式（長方形の等分布荷重の影響値）。
• B.K. Hough, Basic Soils Engineering（砂の圧力－間隙比曲線。図Ⅹ・6-28 の元の図）。

土質定数（mv・Cc・Pc・e-logP 曲線）は、圧密試験の結果から設定してください。許容沈下量と、建物の傾斜角・変形角の目標値は、構造物と事業ごとに異なります。沈下量の照査は、設計者が確かめてください。